关于 Arno Van den Essen 提出的仿射空间消去问题中候选反例的注记

我们证明了如下问题：{\it 设 $R$ 为一个 $\mathbb{C}$-仿射整环，设 $T$ 为 $R \setminus \mathbb{C}$ 中的一个元素，设 $i : \mathbb{C}[T] \hookrightarrow R$ 为包含映射。假设 $R/TR \cong_{\mathbb{C}} \mathbb{C}^{[n-1]}$ 且 $R_T \cong_{\mathbb{C}[T]} \mathbb{C}[T]_T^{[n-1]}$。则 $R \cong_{\mathbb{C}} \mathbb{C}^{[n]}$。} 这一结果导致了对 V. Arno den Lessen 提出的候选反例的否定解答：猜想 E：{\it 设 $A:=\mathbb{C}[t,u,x,y,z]$ 表示一个多项式环，设 $f(u):=u^3-3u, g(u):=u^4-4u^2$ 和 $h(u):=u^5-10u$ 为 $\mathbb{C}[u]$ 中的多项式。设 $D:= f'(u)\partial_x + g'(u)\partial_y + h'(u)\partial_z + t\partial_u$（易见其为 $A$ 上的一个局部幂零导子）。则 $A^D \not\cong_{\mathbb{C}} \mathbb{C}^{[4]}$。} 因此，本文的结果保证了以下猜想仍然未决：“仿射空间的消去问题”、“线性化问题”、“嵌入问题”以及“仿射 $\mathbb{A}^n$-纤维化问题”。