C*-代数包含的规范化元与近似单位

对于 $D\subseteq A$ 的 C*-代数包含且 $D$ 为交换的情形，我们证明当 $n\in A$ 规范化 $D$ 时，$n^*n$ 与 $nn^*$ 与 $D$ 交换。作为一个推论，当 $D$ 是 $A$ 中的正则 MASA 时，$D$ 的任一近似单位也是 $A$ 的近似单位。这允许在非单位元情形中从 Cartan MASA 的定义中去除非退化假设。我们给出奇异 MASA 包含的例：其中一些，$D$ 的任一近似单位都是 $A$ 的近似单位，而另一些则没有任何 $D$ 的近似单位是 $A$ 的近似单位。我们的结果意味着若包含 $D\subseteq A$ 的单位化是 C*-对角，则 $D$ 在 $A$ 中正则。相反，我们给出一个单位化为 Cartan 包含的非正则包含的例子。若 $D$ 是 $A$ 中的 MASA，我们探讨何时 $A$ 是 $B$ 的子代数且 $D$ 是 $B$ 中的正则 MASA。当 $D$ 是 $\mathcal B(\ell^2(\mathbb N))$ 中的 MASA 时，不存在这样的 $B$。