范数一环面与 Hasse 范数原理

设 $k$ 为一个域, $T$ 为一个代数 $k$-环面。1969 年,在整体域 $k$ 上,Voskresenskii 证明了存在正合序列 $0\to A(T)\to H^1(k,{\rm Pic}\,\overline{X})^\vee\to Sha(T)\to 0$,其中 $A(T)$ 是 $T$ 的弱逼近核, $Sha(T)$ 是 $T$ 的 Shafarevich-Tate 群, $X$ 是 $T$ 的一个光滑 $k$-紧化, $\overline{X}=X\times_k\overline{k}$, ${\rm Pic}\,\overline{X}$ 是 $\overline{X}$ 的 Picard 群, $\vee$ 表示 Pontryagin 对偶。另一方面,1963 年,Ono 证明了对于 $K/k$ 的范数一环面 $T=R^{(1)}_{K/k}(G_m)$, $Sha(T)=0$ 当且仅当 Hasse 范数原理对 $K/k$ 成立。首先,我们确定了维数不超过 $5$ 的代数 $k$-环面 $T$ 的 $H^1(k,{\rm Pic}\, \overline{X})$。其次,我们确定了范数一环面 $T=R^{(1)}_{K/k}(G_m)$ 且 $[K:k]=n\leq 15$ 及 $n\neq 12$ 时的 $H^1(k,{\rm Pic}\, \overline{X})$。我们还证明了当 $K/k$ 的伽罗瓦闭包的伽罗瓦群为 Mathieu 群 $M_n\leq S_n$ 且 $n=11,12,22,23,24$ 时,对 $T=R^{(1)}_{K/k}(G_m)$ 有 $H^1(k,{\rm Pic}\, \overline{X})=0$。第三,我们给出了对 $[K:k]=n\leq 15$ 且 $n\neq 12$ 的 $K/k$ 的 Hasse 范数原理的充要条件。作为这些结果的应用,我们通过 Colliot-Thélène 和 Sansuc 的公式得到了局部域 $k$ 上 $R$-等价类的群 $T(k)/R$,并通过 Ono 的公式 $\tau(T)=|H^1(k,\widehat{T})|/|Sha(T)|$ 得到了数域 $k$ 上的 Tamagawa 数 $\tau(T)$。