Heisenberg 扩张次数为 $p^3$ 的哈塞范数原理

设 $k$ 为全局域且 $p$ 为奇素数。我们给出哈塞范数原理对于可分域扩张 $K/k$ 的必要充分条件，即确定范数为一单体 $T=R^{(1)}_{K/k}(G_m)$ 的 Shafarevich-Tate 群 $Sha(T)$ 的条件，其中 $[K:k]=p^3$ 或 $p^2$ 当 $K/k$ 的 Galois 闭包的 Galois 群为次数为 $p^3$ 的 Heisenberg 群 $E_p(p^3)\simeq (C_p)^2\rtimes C_p$，即阶为 $p^3$ 且指数为 $p$ 的 extraspecial 群。作为结果，我们通过 Ono 公式 $\tau(T)=|H^1(k,\widehat{T})|/|Sha(T)|$ 得到 Tamagawa 数 $\tau(T)=p^2$，$p$ 或 $1$。