泛旋子与由范数表示的二次多项式取值

设 $K/k$ 为数域扩张，$P(t)$ 为 $k$ 上的二次多项式。设 $X$ 为由 $P(t) = N_{K/k}(\mathbf{z})$ 定义的仿射簇。我们在三种情形下研究 $X$ 的 Hasse 原理与弱逼近。对于 $[K:k]=4$ 且 $P(t)$ 在 $k$ 上不可约并在 $K$ 中分裂的情形，我们证明了 Hasse 原理与弱逼近。对于 $k=\mathbb{Q}$ 且 $K$ 任意的情形，我们证明 Hasse 原理与弱逼近的 Brauer-Manin 障碍是唯一的。对于 $[K:k]=4$ 且 $P(t)$ 在 $k$ 上不可约的情形，我们确定了 $X$ 光滑真模型的 Brauer 群。在其非平凡的一种情形下，我们给出了弱逼近的反例。