范数一环面与 Hasse 范数原理，II：次数 $12$ 情形

设 $k$ 为域，$T$ 为代数 $k$-环面，$X$ 为 $T$ 的光滑 $k$-紧化，${\rm Pic}\,\overline{X}$ 为 $\overline{X}=X\times_k\overline{k}$ 的 Picard 群。Hoshi、Kanai 与 Yamasaki [HKY22] 确定了范数一环面 $T=R^{(1)}_{K/k}(G_m)$ 的 $H^1(k,{\rm Pic}\, \overline{X})$，并给出数域扩张 $K/k$ 满足 $[K:k]=n\leq 15$ 且 $n\neq 12$ 时 Hasse 范数原理的充要条件。本文中，我们确定了 $H^1(k,{\rm Pic}\, \overline{X})\neq 0$ 的 $64$ 种情形，并给出 $[K:k]=12$ 时 $K/k$ 的 Hasse 范数原理的充要条件。