具有平凡 Schur 乘子的亚循环扩张的 Hasse 范数原理

设 $k$ 为整体域,$K/k$ 为有限可分域扩张,$L/k$ 为 $K/k$ 的 Galois 闭包,其 Galois 群分别为 $G={\rm Gal}(L/k)$ 和 $H={\rm Gal}(L/K)\lneq G$。1931 年,Hasse 证明了若 $G$ 是循环群,则 Hasse 范数原理对 $K/k$ 成立。我们证明:若 $G$ 是亚循环群且具有平凡 Schur 乘子 $M(G)=0$,则 $H$ 是循环群,且 Hasse 范数原理对 $K/k$ 成立。文中给出了若干具有平凡 Schur 乘子 $M(G)=0$ 的亚循环群、二面体群、拟二面体群、模群、广义四元数群、超特殊群以及 $Z$-群 $G$ 的例子。这些例子为 Hasse 范数原理对非 Galois 扩张 $K/k$ 成立提供了新的实例,其中 Galois 闭包 $L/k$ 满足 $G={\rm Gal}(L/k)$ 为亚循环群且 $M(G)=0$。