范一椭球与哈塞范一原理，III：16次扩张情况
摘要
设k为域，T为代数k椭球，X为T的光滑k紧致化，X的 Picard 群记为PicX，其中X=X×kKbarKbar为k的可分闭包。Hoshi、Kanai和Yamasaki[HKY22]、[HKY23]确定了范一椭球T=R(1)K/k(Gm)的H1(k,PicX)，并给出了数域扩张K/k且[KK]15以下情况下的哈塞范一原理的必要充分条件。本文处理[KK]=16的情况。对于1954个等价于S16中的传递子群G=16Tm（1m1954）中，我们确定1101（分别为774、31、37、1、1、9）个情况，其中H1(k,PicX)=0（分别为Z/2Z、(Z/2Z)2、(Z/2Z)3、(Z/2Z)4、(Z/2Z)6、Z/4Z），其中G为K/k的Galois闭包L/k的Galois群。我们看到H1(k,PicX)=0意味着K/k的哈塞范一原理成立。特别地，在22个原始G=16Tm情况中，即H≤G=16Tm为最大且[G:H]=16时，我们恰好确定6个情况（m=178、708、1080、1329、1654、1753），其中H1(k,PicX)≠0（分别为(Z/2Z)2、Z/2Z、(Z/2Z)2、Z/2Z、Z/2Z、Z/2Z）。此外，我们给出K/k且[KK]=16的22个原始G情况下的哈塞范一原理的必要充分条件。作为这22个原始G情况的 consequences，我们通过Ono公式得到T=R(1)K/Gm在数域k上的Tamagawa数τ(T)=1、1/2、1/4，其中T的Shafarevich-Tate群记为Sha(T)。
引用
@article{arxiv.2404.01362,
title = {Norm one tori and Hasse norm principle, III: Degree $16$ case},
author = {Akinari Hoshi and Kazuki Kanai and Aiichi Yamasaki},
journal= {arXiv preprint arXiv:2404.01362},
year = {2024}
}
备注
To appear in J. Algebra, 75 pages, modified Section 5 and added Norm1ToriHNP for GAP 4 ver.2024.04.03 to references which is available from KURENAI (Kyoto University Research Information Repository) https://doi.org/10.57723/289563