尖点形式扭曲 $L$-函数的非零性与平均中心临界值

设 $f$ 为具有 Nebentypus 特征标 $\psi$ 的 $\Gamma_{0}(N)$ 上权 $k \geq 3$ 的全纯尖点形式。推广 Kohnen 和 Raghuram 的工作，我们为被本原 Dirichlet 特征标 $\chi$ 扭曲的 $f$ 的 $L$-函数 $L(f,\chi,s)$ 构造了一个核函数，并利用它证明：若权 $k$ 或级 $N$ 足够大，则在临界带内某些线段上，关于 $S_{k}(N,\psi)$ 正交基的平均值 $\sum_{f \in S_{k}(N,\psi)}\frac{L(f,\chi,s)}{<f,f>}\bar{a_{f}(1)}$ 不为零。作为核函数的另一个应用，我们证明了 Waldspurger 定理的一个平均版本，该定理将偶权 $2k$ 尖点形式 $f$ 的 $L$-函数的 $D$-th 扭曲（$D < 0$ 为基本判别式）的中心临界值，与在 Shimura 对应下关联于 $f$ 的半整权 $k+1/2$ 形式的第 $|D|$ 个 Fourier 系数的平方联系起来。