非局部博弈、压缩定理与算术谱系

我们研究非局部博弈的复杂度与算术谱系之间的联系，后者是根据定义语言的算术公式的复杂度对语言进行的分类。Ji、Natarajan、Vidick、Wright 和 Yuen 最近证明，判定一个非局部博弈的（有限维）量子值是否为 $1$ 或至多 $\frac{1}{2}$ 对于 $\Sigma_1$ 类（即 $\mathsf{RE}$）是完备的。Slofstra 的一个结果意味着，判定非局部博弈的交换算子值是否等于 $1$ 对于 $\Pi_1$ 类（即 $\mathsf{coRE}$）是完备的。我们证明，判定一个双人非局部博弈的量子值是否精确等于 $1$ 对于 $\Pi_2$ 是完备的；该类位于算术谱系的第二层，对应于形如“$\forall x \, \exists y \, \phi(x,y)$”的公式。这表明精确计算量子值严格难于近似它，也严格难于计算交换算子值（无论是精确还是近似）。我们解释关于非局部博弈复杂度的结果如何统一地全部源于一种称为压缩的技术。我们 $\Pi_2$ 完备性结果的核心是一个对量子与交换算子策略均成立的新型“无隙”压缩定理。我们的压缩定理作为一个副产品，给出了 Slofstra 关于量子关联集不闭的结果的另一种证明。我们还展示了交换算子策略的一个“保隙”压缩定理将意味着近似交换算子值对于 $\Pi_1$ 是完备的。