零间隙 MIP* 的复杂性

类 $\mathsf{MIP}^*$ 是由具有量子纠缠证明者的多证明者交互式证明可判定的语言集合。Ji、Natarajan、Vidick、Wright 和 Yuen 最近证明了 $\mathsf{MIP}^*$ 等于 $\mathsf{RE}$，即可递归枚举语言集合。特别地，这表明近似非局域博弈 $G$ 的量子值的复杂性与停机问题的复杂性等价。在本文中，我们研究判定非局域博弈 $G$ 的量子值是否恰好为 $1$ 的复杂性。该问题对应于一个我们称之为零间隙 $\mathsf{MIP}^*$（记为 $\mathsf{MIP}^*_0$）的复杂性类，其中在 YES 与 NO 情形下验证者的接受概率之间没有承诺间隙。我们证明 $\mathsf{MIP}^*_0$ 超越了算术层次的第一层（其包含 $\mathsf{RE}$ 及其补集 $\mathsf{coRE}$），事实上等于 $\Pi_2^0$，即可由形如 $\forall y \, \exists z \, R(x,y,z)$ 的量词公式判定的语言类。结合先前已知的结果 $\mathsf{MIP}^{co}_0$（$\mathsf{MIP}^*_0$ 的交换算子变体）等于 $\mathsf{coRE}$，我们的结果进一步凸显了量子多证明者交互式证明的各种模型与可计算性理论中不同类之间的迷人联系。