Emden-Fowler方程的非线性稳定性分析

本文定性研究了正实轴上半线性椭圆方程 $\Delta u + u^n = 0$ 满足 $u(0)=1$ 和 $u'(0)=0$ 的径向解，该方程称为 Emden-Fowler 方程或 Lane-Emden 方程。该方程在牛顿天体物理学中具有重要意义，常数 $n$ 称为多方指数。通过引入一组新变量，Emden-Fowler 方程可以写成一个由两个常微分方程组成的自治系统，并可使用线性和非线性稳定性分析进行研究。我们通过线性稳定性分析、Jacobi 稳定性分析（Kosambi-Cartan-Chern 理论）和 Lyapunov 函数方法进行了稳定性研究。根据 $n$ 值的不同，这些不同的方法会得出不同的结果。我们确定了 $n$ 的一个参数范围，在该范围内所有三种方法都表明系统是稳定的。