作为概率测度空间上梯度流的非线性 Fokker–Planck–Kolmogorov 方程
偏微分方程分析
2024-11-11 v4 概率论
摘要
我们提出一种通用方法，将非线性 Fokker–Planck–Kolmogorov 方程（FPK 方程）识别为 上概率测度空间上具有自然微分几何的梯度流。我们的梯度流概念不依赖于任何底层度量结构（如 Wasserstein 距离），而是源于纯粹的微分几何考量。我们明确识别了相关的熵函数（不一定凸）以及相应的能量泛函，特别是其定义域。此外，后者是 FPK 方程解的 Lyapunov 函数。而且，我们给出了此类梯度流的唯一性结果，并证明 的梯度是 上的梯度场，且可由光滑梯度场逼近。这些结果涵盖了经典和广义多孔介质方程，其中后者具有广义扩散函数和非线性输运型一阶扰动。
引用
@article{arxiv.2306.09530,
title = {Nonlinear Fokker--Planck--Kolmogorov equations as gradient flows on the space of probability measures},
author = {Marco Rehmeier and Michael Röckner},
journal= {arXiv preprint arXiv:2306.09530},
year = {2024}
}