Routh 球与 Chaplygin 球的非完整诺特定理对称性与积分

具有非均匀质量分布、在平面上滚动的球体动力学由 Sergey Chaplygin 讨论过，今年我们庆祝其诞辰 150 周年。Chaplygin 陀螺是一个不可积系统，具有丰富而有趣的运动。该系统的一种特殊情况由 Edward Routh 研究，他证明其是可积的。Routh 球的质心偏离几何中心，但穿过这两点存在一条对称轴，且关于所有垂直于对称轴的轴的转动惯量相等。存在三个运动常数：总能量以及两个涉及角动量的量。直接证明这些称为 Jellett 常数和 Routh 常数的量是运动积分是容易的。然而，它们的物理意义尚未被完全理解。在本文中，我们展示了 Routh 球的积分如何源于 Emmy Noether 的不变性恒等式。我们推导了与这些常数相关的无穷小对称变换的表达式。我们找到了这些对称的有限形式并给出其几何解释。作为该方法威力与实用性的进一步演示，我们找到了近期引入的系统——旋转转盘上的 Chaplygin 球——的诺特对称性和相应诺特积分，确认已知积分可直接由诺特定理得到。