开普勒积分的非保守扩展及一类新的可积系统

在开普勒问题中，拉格朗日量在时间平移和旋转下的不变性产生了与能量和角动量相关的守恒定律。Noether 定理揭示了在近似多种物理模型的特殊非保守情形中，这些相同的对称性提供了首积分的广义形式。该系统受到具有沿切向和法向分量的双参数加速度的扰动。相似变换将该双参数扰动简化为沿速度向量的更简单的单参数强迫。讨论了这一新问题的可解性条件，并给出了可积情形的封闭形式解。得益于广义能量的守恒，轨道被分为椭圆、抛物线和双曲线。开普勒轨道作为该问题的特解自然出现。在独立刻画轨道后，基于 Weierstrass 椭圆函数构建了解的统一形式。新轨迹涉及基本曲线，如心脏线和螺旋线、正弦螺线及 Cotes 螺线。这些轨道可以表示受太阳辐射压力扰动的粒子运动、具有连续推进的航天器运动以及 Schwarzschild 测地线的某些实例。最后，将该问题与天体力学中其他已知的可积系统联系起来。