辛映射中近守恒量的几何学。第一部分：微扰理论

诺特定理将连续对称性与精确守恒律联系起来，仍然是物理学和动力系统中最基本的原理之一。在这项工作中，我们在两种范式之间建立了一个概念上的平行关系：精确不变量从连续对称性中涌现，以及近似不变量从与辛映射中可逆性相关的离散对称性中出现。我们证明，通过逐阶构造保持这些离散对称性的逼近函数，可以系统地揭示隐藏结构，这与诺特的框架紧密呼应。由此产生的函数不仅可作为诊断工具，还可作为近可积行为的紧凑表示。第一篇文章建立了该方法的正式基础。使用映射的对称形式作为灵活的测试案例，我们将微扰构造与既定技术（包括用于扭曲系数的李代数方法）进行了基准测试。为了解决微扰级数中固有的模糊性，我们引入了一种平均程序，该程序自然地引出了一个共振理论——能够处理有理旋转数和小分母发散。这使得能够对低阶共振进行准确且结构化的描述，包括二次和三次 Hénon 映射中的奇异和非奇异特征。该方法是系统性的，仅需要线性代数和初等函数的积分，但其结果与理论和数值实验惊人地一致。最后，我们概述了向更一般映射的扩展，并讨论了对粒子加速器等实际系统中稳定性估计的影响。