低维情形下球面附近第二共形特征值极小化子的不存在性

我们考虑在具有重整化体积的共形类度量中极小化第二共形特征值的问题。我们证明，在维数 $n\in\left\{3,\dotsc,10\right\}$ 时，对于充分接近球面度量的度量，该问题的极小化子不存在。这与维数 $n \ge 11$ 时的情形形成鲜明对比，Ammann 和 Humbert 在该情形下证明了任意光滑闭非局部共形平坦流形上第二共形特征值极小化子的存在性。作为我们技术的副产品，我们还得到了 $n=3,4,5$ 维中 Yamabe 方程变号解能量的下界，这扩展了 Weth 在球面情形得到的结果。