Heisenberg 流形的非交换留数及其在 CR 与接触几何中的应用

本文由四部分组成。第一部分中，我们为 Heisenberg 流形上的亚椭圆演算构造非交换留数，即针对 Beals-Greiner 与 Taylor 引入的 Heisenberg PsiDO 类。该非交换留数表现为由通常迹到非整数阶 Heisenberg PsiDO 的解析延拓在整数阶 Heisenberg PsiDO 上诱导的剩余迹。此外，它与相应 Heisenberg PsiDO 的 Schwartz 核的对数奇性所定义的密度积分一致。另外我们证明该非交换留数在整数阶 Heisenberg PsiDO 代数上给出了唯一一个至常数倍意义的迹。第二部分给出此构造在一些分析中的应用，涉及亚椭圆算子的 zeta 函数、亚椭圆算子的 Green 核的对数度量估计，以及 Dixmier 迹到整个整数阶 Heisenberg PsiDO 代数的延拓。第三部分给出接触流形上水平子 Laplacian 与接触 Laplacian 的若干幂的非交换留数计算实例。第四部分给出 CR 几何中的两个应用。首先，我们给出水平子 Laplacian 与 Kohn Laplacian 的若干幂的非交换留数几何计算实例。其次，我们利用非交换几何框架及我们的非交换留数来定义伪 Hermite 几何中的低维体积，例如我们可以赋予任意 3 维 CR 流形面积以意义。在此过程中我们得到了伪 Hermite 几何中 Einstein-Hilbert 作用量的谱解释。