通过指数扭曲实现正特征下的非阿贝尔 Hodge 理论

设 $k$ 为奇特征的完美域，$X$ 为 $k$ 上可 $W_2$-提升的光滑代数簇。我们证明了经典 Cartier 下降的指数扭曲给出了 $X/k$ 上指数 $\leq p-1$ 的幂零 Higgs 层范畴与 $X/k$ 上指数 $\leq p-1$ 的幂零平坦层范畴之间的等价，且对于 Ogus-Vologodsky 在正特征非阿贝尔 Hodge 理论中构造的这些幂零对象，该等价与逆 Cartier 变换和 Cartier 变换仅相差一个符号。鉴于 Deligne-Illusie 引理在阿贝尔 Hodge 理论中关于 $E_1$ 退化与 Kodaira 消亡定理的代数证明里曾发挥关键作用，毫不奇怪的是，该引理再次通过 Higgs-de Rham 流的概念，在建立非阿贝尔 Hodge 理论中的 $p$-进 Simpson 对应、Langer 关于半稳定 Higgs 丛的 Bogomolov 不等式的代数证明以及 Miyaoka-Yau 不等式中发挥了重要作用。