某类紧算子的非 Volterra 性质

Matsaev 与 Mogulskii 作者甄别出一类宽泛的正紧算子 $H$ 的弱扰动，形如 $H(I+S)$，其中 $S$ 为使 $I+S$ 连续可逆的紧算子，其不具有非零特征值，即其为 Volterra。另一方面，若自伴算子 $H$ 属于 Schatten-von Neumann 类，此类弱扰动具有完备的根向量系。本文中，我们考虑可表示为两个紧算子之和 $A=C+T$ 的紧算子 $A$，即 $A$ 未必是弱扰动，其中 $C$ 为非负算子。我们将证明此类算子非零特征值的存在性定理。对由具 Cauchy 初值数据的微分方程生成的算子的谱性质研究，通常涉及适定的 Volterra 边值问题。但 Hadamard 的例子表明 Laplace 方程的 Cauchy 问题是不适定的。目前，尚不知椭圆型方程的任何 Volterra 适定限制或扩张。因此，产生如下问题：是否存在由 Laplace 算子生成的最大算子 $\widehat{L}$ 的 Volterra 适定限制，或最小算子 $L_0$ 的 Volterra 适定扩张？所获得的特征值存在性定理给出，由 Laplace 算子生成的最大算子 $\widehat{L}$ 的宽泛适定限制类与最小算子 $L_0$ 的宽泛适定扩张类均不能是 Volterra。此外，在二维情形证明了 Laplace 算子根本不存在 Volterra 适定限制或扩张。