闭流形上全局 hypoelliptic 算子的扰动

受 A. Bergamasco 关于二维环面上向量场扰动的结果，以及 J. Delgado 和 M. Ruzhansky 关于闭流形上相对于椭圆算子的不变算子性质的结果启发，我们给出了确保定义在 $\T\times M$ 上的全局 hypoelliptic 算子的扰动继续保持全局 hypoelliptic 性质的充要条件，其中 $\T$ 是平坦环面，$M$ 是闭光滑流形。为此，我们分析了由该算子在固定椭圆算子的特征空间上的限制所给出的矩阵族生成的特征值序列在无穷远处的行为。作为应用，我们在 $\T^2$ 上构造了相对于 Laplacian 不变的向量场 $D_t + \omega D_x$ 的扰动。在这些扰动与算子 $D_x$ 交换的情况下，我们的例子恢复并扩展了 Bergamasco 的一些结果。此外，在存在丢番图现象的情况下，我们构造了破坏全局 hypoellipticity 的低阶扰动示例。