多势阱系统的非极小化连接轨道

给定一个非负光滑势 $V: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}$（$k \geq 2$），具有多个零点，我们称曲线 $\mathfrak{q}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^k$ 为连接轨道，若其求解自治常微分方程组 \begin{equation} \mathfrak{q}''= \nabla_{\mathbf{u}} V(\mathfrak{q}) , \hspace{2mm} \mbox{ in } \mathbb{R} \end{equation} 且在 $\pm \infty$ 处趋于 $V$ 的一个零点。广义上，我们的目标是通过变分方法研究上述问题的连接轨道的存在性。尽管关于其他类型二阶系统连接轨道存在性的已有文献十分丰富，但据我们所知，对于自治多势阱势，仅被证明存在在适当函数空间中极小化关联能量泛函的连接轨道。本文的贡献在于，对此类势中的一族，给出关于非极小化连接轨道的若干存在性结果。我们的结果与 J. Bisgard 在其博士论文（University of Wisconsin-Madison，2005）中获得的同精神的结果密切相关，其中考虑了非自治周期多势阱势（最终排除了自治势）。我们的方法基于经典山路引理（Mountain Pass Lemma）的若干精细化版本。