梯度系统的指定能量连接轨道

我们研究保守系统 $\ddot{q}=\nabla V(q), \; q\in\mathbb{R}^N$，其中势函数 $V\in C^1(\mathbb{R}^N)$ 为一类一般势能。假设对于某个 $c\in\mathbb{R}$，给定的子水平集 $\{V\leq c\}$ 分裂为两个闭子集 $\mathcal{V}^c_-$ 与 $\mathcal{V}^c_+$ 的不交并，我们建立上述系统具有等于 $-c$ 的能量、其轨迹连接 $\mathcal{V}^c_-$ 与 $\mathcal{V}^c_+$ 的有界解 $q_c$ 的存在性。当问题中存在温和的强制性性质时，这些解通过能量约束变分法获得。根据 $\nabla V$ 在 $\partial\mathcal{V}^c_{\pm}$ 上的性态，连接轨道被分类为制动、异宿或同宿类型。接着，我们展示该存在性结果在双势阱势能 $V$、以及与 Duffing 型和多摆型系统相关的势能上的应用。在上述每种情形中，我们证明了解族 $(q_c)$ 的若干收敛结果。