节点几何、热扩散与布朗运动

我们利用 $n$ 维布朗运动的工具，结合热扩散的 Feynman-Kac 表述，来研究紧黎曼流形 $M$ 上的节点几何。一方面，我们推广了 Lieb 的一个定理，并证明任何节点域 $\Omega_\lambda$ 几乎完全包含一个半径约为 $\sim \frac{1}{\sqrt{\lambda}}$ 的球。这也对 Mangoubi 关于节点域的内切半径的结果（\cite{Man2}）给出了轻微改进。另一方面，我们还证明了没有任何节点域可以被包含在 $M$ 内有限个曲面并集的一个相当细的管状邻域中。