某些二次曲率泛函临界度量的新刚性结果

我们证明了定义在闭光滑 $n$-流形上的度量的一个新刚性结果，这些度量是关于二次泛函 $\mathfrak{F}_{t}$ 的临界点，该泛函依赖于 Ricci 曲率 $Ric$ 和标量曲率 $R$，并满足形式为 $Sec > \epsilon R$ 的夹逼条件，其中 $\epsilon$ 是 $t$ 和 $n$ 的函数，而 $Sec$ 表示截面曲率。特别地，我们证明了满足 $Sec > \frac{1}{48} R$ 且具有常数标量曲率的 Bach-flat 度量是 Einstein 度量，并且根据已知结果，它们等距同构于 $\mathbb{S}^{4}$、$\mathbb{RP}^{4}$ 或 $\mathbb{CP}^{2}$。