二次曲率泛函临界度量的刚性

本文证明了二次曲率泛函 $\mathfrak{F}^{2}_t = \int |\operatorname{Ric}_g|^{2} dV_g + t \int R^{2}_g dV_g$（$t\in\mathbb{R}$）与 $\mathfrak{S}^2 = \int R_g^{2} dV_g$ 的完备、可能非紧临界度量的新刚性结果。我们证明：(i) 平坦曲面是 $\mathfrak{S}^2$ 唯一的临界点；(ii) 对每个 $t>-\frac{1}{3}$，平坦三维流形是 $\mathfrak{F}^{2}_t$ 唯一的临界点；(iii) 具有有限能量的三维标量平坦流形是 $\mathfrak{S}^2$ 唯一的临界点；(iv) 维数 $n>4$ 的 $n$ 维标量平坦流形是 $\mathfrak{S}^2$ 具有有限能量且标量曲率有下界的唯一临界点。情形(i)的证明依赖于共形向量场的刚性结果及一个ODE论证；情形(ii)借用了M. T. Anderson关于临界度量的正则性、收敛与刚性的若干思想；情形(iii)与(iv)的证明自洽，依赖于新的逐点估计与积分估计。