正规矩阵谱的新扰动界

设 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 和 $\widetilde{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 为两个正规矩阵，其谱分别为 $\{\lambda_{i}\}_{i=1}^{n}$ 和 $\{\widetilde{\lambda}_{i}\}_{i=1}^{n}$。著名的 Hoffman--Wielandt 定理指出，存在 $\{1,\ldots,n\}$ 的一个置换 $\pi$，使得 $\left(\sum_{i=1}^{n}\big|\widetilde{\lambda}_{\pi(i)}-\lambda_{i}\big|^{2}\right)^{1\over 2}$ 不大于 $\widetilde{A}-A$ 的 Frobenius 范数。然而，如果 $A$ 或 $\widetilde{A}$ 中有一个是非正规的，该结果一般不再成立。本文在 $A$ 为正规矩阵且 $\widetilde{A}$ 为任意矩阵的条件下，给出了 $\left(\sum_{i=1}^{n}\big|\widetilde{\lambda}_{\pi(i)}-\lambda_{i}\big|^{2}\right)^{1\over 2}$ 的若干新上界。其中一些涉及 $\widetilde{A}$ 的“偏离正规性”的估计推广了 Hoffman--Wielandt 定理。此外，我们还给出了 Hermitian 矩阵谱的新扰动界。