随机蜂巢与两个随机矩阵之和谱的大偏差

设 $\alpha, \beta$ 为从 $[0, 1]$ 到 $\mathbb{R}$ 的 Lipschitz 强凹函数，$\gamma$ 为从 $[0, 1]$ 到 $\mathbb{R}$ 的凹函数，满足 $\alpha(0) = \gamma(0) = 0$，且 $\alpha(1) = \beta(0) = 0$ 以及 $\beta(1) = \gamma(1) = 0$。对 $n \times n$ 厄米矩阵 $W$，令 $spec(W)$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 中坐标按非增顺序排列的 $W$ 的特征值向量。令 $\lambda = \partial^- \alpha$，$\mu = \partial^- \beta$ 于 $(0, 1]$，且 $\nu = \partial^- \gamma$ 于 $(0, 1]$ 的所有点，其中 $\partial^-$ 为左导数，且单调递减。令 $\lambda_n(i) := n^2(\alpha(\frac{i}{n})-\alpha(\frac{i-1}{n}))$，对 $i \in [n]$，类似地 $\mu_n(i) := n^2(\beta(\frac{i}{n})-\beta(\frac{i-1}{n}))$，以及 $\nu_n(i) := n^2(\gamma(\frac{i}{n})-\gamma(\frac{i-1}{n}))$。令 $X_n, Y_n$ 为分别具有谱 $\lambda_n$、$\mu_n$ 的来自酉不变分布的独立随机厄米矩阵。我们定义范数 $\|\cdot\|_\mathcal{I}$ 以特定方式对应于原函数的上确界范数。对合适的 $\lambda$ 与 $\mu$，我们证明如下极限存在。\begin{equation} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{\ln \mathbb{P}\left[\|spec(X_n + Y_n) - \nu_n\|_{\mathcal{I}} < n^2 \epsilon\right]}{n^2}.\end{equation} 我们依据 Knutson 与 Tao 所定义的离散蜂巢连续极限的表面张力 $\sigma$ 来解释该极限。