删除影的新最优值

对于从字母表 $A=[r]=\{1,\dots,r\}$ 中抽取的长度为 $n$ 的单词族 $\mathcal{F}$，Danh 和 Daykin 将删除影 $\Delta \mathcal{F}$ 定义为包含所有可通过删除 $\mathcal{F}$ 中某个单词的一个字母而得到的单词的族。他们提出，给定这样一个族的大小，其删除影可以有多小，并在字母表大小为 $2$ 时用 Kruskal-Katona 类型的结果回答了这个问题。然而，Leck 指出，对于更大的字母表，没有任何排序能给出这样的结果。对于大小为 $s^n$ 的族，其最小影是已知的，此时最优族具有 $[s]^n$ 的形式。我们给出了这些层级之间许多中间大小的最小影，证明了形如“$[s]^n$ 中符号 $s$ 最多出现 $k$ 次的所有单词”的族是最优的。我们的证明使用了一些可能具有独立研究价值的分数技术。