零坐标的删除

对于族 $A\subseteq\left\{ 0,\dots,k\right\} ^{n}$，定义 $A$ 的 $\delta$-阴影为从 $A$ 中任一向量的一个等于零的坐标处移除该坐标所得到的集合。给定 $A$ 的大小，我们应如何选择 $A$ 以使其 $\delta$-阴影最小？本文旨在证明，对于任意 $r$，所有至多含 $r$ 个零的序列构成的族具有最小的 $\delta$-阴影。我们实际上给出了每种大小下确切的最优 $A$。