加权能量类 $\mathcal{E}_{\chi,\mathrm{loc}}(\Omega)$ 的新局部分析

设 $\Omega\subset\mathbb{C}^n$ 为一个超凸域，$\chi:\mathbb{R}^-\to\mathbb{R}^+$ 为一个递减函数。本文研究在 \cite{HHQ13} 中引入的局部加权能量类 $\mathcal{E}_{\chi,\mathrm{loc}}(\Omega)$。我们在局部成员资格方面建立了两个主要结果。首先，我们证明了加权 Monge--Ampère 能量的新局部有界性：若 $u\in\mathrm{PSH}^-(\Omega)$ 在每个相对紧凑超凸子域 $D\Subset\Omega$ 的边界附近 admits 合适的局部主要项于 $\mathcal{E}_{\chi,\mathrm{loc}}$，则加权能量 $\int_K \chi(u)(dd^c u)^n$ 在每个紧凑集 $K\subset D$ 中保持局部有限。这给出了能量泛函的第一次显式局部控制，即使在未加权的情况下也是如此。其次，我们在 Monge--Ampère 测度的局部控制方面取得了实质性的改进。我们表明，如果除了边界条件外，$(dd^c u)^n$ 在 $D$ 内部被 $(dd^c w)^n$ 所支配，其中 $w\in\mathcal{E}_{\chi,\mathrm{loc}}(D)$，则 $u\in\mathcal{E}_{\chi,\mathrm{loc}}(D)$。这种支配条件严格弱于之前要求的加权能量的局部有限性，从而显著扩大了可接受函数的范围。我们的结果扩展并细化了在 \cite{Q24,Q25} 中developed的局部理论，为具有可能在紧凑子集上奇异的 plurisubharmonic 函数提供更灵活的框架。