源自局部代数不等式的 Monge-Ampère 算子估计

本简短笔记的目标是将具有孤立奇点或紧支撑奇点的 plurisubharmonic 函数 $\phi$ 的指数 $e^{-2\phi}$ 的可积性，与 $(dd^c\phi)^n$ 的 Monge-Ampère 质量的先验界联系起来。该不等式在 $\bC^n$ 中的任意开子集 $\Omega$ 上局部或全局有效。我们证明了 $\int_\Omega(dd\phi)^n<n^n$ 意味着对于 $\Omega$ 中的每个紧子集 $K$ 都有 $\int_Ke^{-2\phi}<+\infty$，而形式为 $\phi(z)=n\log|z-z_0|$ ($z_0\in\Omega$) 的函数表现为极限情形。该结果源自一个纯局部代数不等式，事后证明该不等式与其等价；该不等式由 A.Corti 在 $n=2$ 维证明，随后由 L.Ein、T.De Fernex 和 M.Musta\c{t}\v{a} 推广至任意维数。