Monge-Ampère 测度的一个等式

设 $u$ 和 $v$ 是域 $\Omega\subset {\bf C}^n$ 上 Monge-Ampère 算子定义域内的两个多重次调和函数。我们证明：若 $u=v$ 在一个 Borel 可测的 plurifinely 开集 $U\subset \Omega$ 上成立，则 $(dd^cu)^n|_U=(dd^cv)^n|_U$。该结果在 $u$ 和 $v$ 局部有界的情形由 Bedford 与 Taylor 证明，在 $u$ 和 $v$ 有限的情形由 El Kadiri 与 Wiegerinck 证明，在 $U$ 形如 $U=\bigcup_{j=1}^m\{\varphi_j>\psi_j\}$（其中 $\varphi_j$、$\psi_j$，$j=1,...,m$，为 $\Omega$ 上的多重次调和函数）的情形由 Hai 与 Hiep 证明。