新的拉普拉斯比较定理及其在黎曼流形扩散过程中的应用

设$L=\Delta-\nabla\phi\cdot \nabla$为完备非紧光滑黎曼流形$(M,g)$上带有不变测度$\mu({\rm} d x)=e^{-\phi(x)}{\mathfrak m}({\rm d} x)$的对称扩散算子，其中体积元${\mathfrak m}={\rm vol}_g$，$\phi\in C^2(M)$为势函数。本文中，我们证明了在具有${\rm CD}(K, m)$条件（$m\leq 1$且$K$为连续函数）的加权完备黎曼流形上的拉普拉斯比较定理。作为推论，我们给出了$m\leq1$时$m$-Bakry-\'Emery Ricci张量的优化条件，使得（加权）Myers定理、Bishop-Gromov体积比较定理、Ambrose-Myers定理、Cheeger-Gromoll型分裂定理，以及$L$-扩散过程的随机完备性与Feller性质在加权完备黎曼流形上成立。其中部分结果在$m$-Bakry-\'Emery Ricci曲率$m\geq n$（\cite{Lot,Qian,XDLi05, WeiWylie}）或$m=1$（\cite{Wylie:WarpedSplitting, WylieYeroshkin}）的情形已被充分研究。当$m<1$时，我们的结果在文献中是新的。