关于 Brunel 算子界的新的估计

我们研究函数 $\psi(x)=\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}$ 的幂次泰勒级数展开的系数，其中对于任意均值有界 $T$，Brunel 算子 $A\equiv A(T)$ 定义为 $\psi(T)$。我们证明了关于 $n\in\mathbb{N}$ 时 $\psi^n$ 泰勒系数的若干新的精确估计。我们应用这些估计给出初等的证明：对 Banach 空间 $X$ 上任意均值有界、未必正的算子 $T$，Brunel 算子 $A(T):X\to X$ 是幂有界的且满足 $\sup_{n\in\mathbb{N}} \|n(A^n-A^{n+1})\| < \infty$（等价地，$A(T)$ 是一个 Ritt 算子）。在此过程中，我们给出了 A. Brunel 与 R. Emilion 在 \cite{Brunel} 中宣布的结果的具体细节。