Palatini $f(R)$ 理论的新动力系统方法及其在指数引力中的应用

动力系统方法是研究修正引力理论所导出宇宙学历史的有用工具。它通过计算不动点及其性质（吸引子、排斥子或鞍点），提供参数化模型族中典型背景解的定性信息，从而例如可获知模型参数空间的哪些区域产生所需的辐射、物质与暗能量主导时期。然而，为 Palatini 形式下的 $f(R)$ 理论构建动力系统的传统方案假设了一个依赖于特定拉格朗日函数形式的函数的可逆性，而这一假设并不成立，例如对于指数引力的特殊理论（$f(R)=R-\alpha R_*(1-e^{-R/R_*})$）。在本工作中，我们提出一种替代的变量选择来处理 Palatini 表述下的 $f(R)$ 模型，其确实包含指数引力。我们推导了可应用于给定感兴趣模型的一些一般结果，并给出了指数引力相空间的完整描述。我们表明 Palatini 指数引力理论具有一个最终吸引子临界点，其有效状态方程参数为 $w_{\text{eff}} = -1$（当 $\alpha>1$ 时）、$w_{\text{eff}} = -2/3$（当 $\alpha=1$ 时）和 $w_{\text{eff}} = 0$（当 $\alpha<1$ 时）。最后，我们的解析结果与场方程的数值解进行了比较。