关于格点费米子精确 Dirac 零模的新猜想

我们提出关于格点费米子的物种倍增与定义费米子作用的流形拓扑之间关系的新猜想。我们的猜想断言：通过对 $D$ 维流形离散化定义的有限体积、有限格距格点上，费米子物种的最大数目等于该流形的 Betti 数之和。我们从重新考察朴素费米子在拓扑为环面（$T^{D}$）、超球（$B^D$）及其直积空间（$T^{D} \times B^{d}$）的格点上的物种倍增出发。我们发现这些流形上物种的最大数目与 Betti 数和 $\sum^{D}_{r=0} \beta_{r}$ 精确一致。事实上，环面上的 $4D$ 格点费米子最多有 $16$ 个物种，而 $T^4$ 的 Betti 数之和正是 $16$。这一巧合对 $D$ 维超球及其直积空间 $T^{D} \times B^{d}$ 也成立。我们研究了定义在离散化超球面（$S^{D}$）上的若干格点费米子例子，发现其最多有 $2$ 个物种，与 $S^{D}$ 的 Betti 数之和相同。基于这些事实，我们猜想费米子物种最大数目与 Betti 数之和等价。我们讨论了借助 Hodge 理论和谱图理论证明该猜想的方案。