幂平均之比的新界

我们证明，对于实数 $p,\,q$（满足 $q<p$）以及相应的幂平均 $\mathscr{P}_p$、$\mathscr{P}_q$，不等式 $$\frac{\mathscr{P}_p(x)}{\mathscr{P}_q(x)} \le \exp \bigg( \frac{p-q}8 \cdot \bigg(\ln\bigg(\frac{\max x}{\min x}\bigg)\bigg)^2 \:\bigg)$$ 对每一个由正实数构成的向量 $x$ 均成立。此外，我们证明对于所有这样的数对 $(p,q)$，常数 $\tfrac{p-q}8$ 是最优的。