实对数凹随机变量的矩比较

我们证明，对于每一个零均值对数凹实随机变量 $X$，当 $p \geq q \geq 1$ 时有 $\|X\|_p \leq \frac{p}{q} \|X\|_q$，这超越了对称随机变量的已知情形。我们还证明，在任意对数凹实随机变量的类中，对于 $p>q > 0$，量 $\|X\|_p / \|X\|_q$ 在某个平移指数分布处取到最大值。基于此，我们导出对任意对数凹 $X$ 的界 $\|X\|_p \leq C_0 \frac{p}{q} \|X\|_q$，其中 $\frac{p}{q}$ 前的最佳绝对常数 $C_0=e^{W(1/e)} \approx 1.3211$，$W$ 表示 Lambert 函数。