针对 $p\ge 2$ 的正 $l_p$ 序列的 Clarkson 型不等式

对于固定的 $1\le p<+\infty$，用 $\Vert\cdot\Vert_p$ 表示空间 $l_p$（或 $L_p$）中的通常范数。本文证明，对于所有满足 $2\le p\le q$ 的实数 $p$ 和 $q$，不等式 $$2(\Vert x\Vert_p^q+\Vert y\Vert_p^q)\le \Vert x+y\Vert_p^q +\Vert x-y\Vert_p^q$$ 对 $l_p$ 中的所有非负序列 $x=\{x_n\},y=\{y_n\}$（或 $L_p$ 中的所有非负函数 $x,y$）成立。注意，当 $p=q\ge 2$ 时，上述不等式退化为著名的 Clarkson 不等式。此外，如果对每个 $i=1,2,...$ 均有 $x_i\ge y_i$ 成立（或在 $L_p$ 中几乎处处有 $x\ge y$），则我们建立了上述不等式的一个改进形式。