一些尖锐的 Wilker 型不等式及其应用

本文证明，对于固定的 $k\geq 1$，Wilker 型不等式 {equation*} \frac{2}{k+2}(\frac{\sin x}{x}) ^{kp}+\frac{k}{k+2}(\frac{% \tan x}{x})^{p}>1 {equation*}% 对 $x\in (0,\pi /2)$ 成立当且仅当 $p>0$ 或 $p\leq -$。当且仅当 $-\frac{12}{5(k+2)}\leq p<0$ 时该不等式反向。其双曲版本对 $x\in (0,\infty)$ 成立当且仅当 $$ 或 $p\leq -\frac{12}{5(k+2)}$。此外，对于固定的 $k<-2$，当且仅当 $p<0$ 或 p\geq -\frac{12}{% 5(k+2)} 时，双曲版本反向。我们的结果统一并推广了一些已知结果。