次临界情形下抛物型 $(1,\,p)$-Laplace 方程的梯度连续性

本文关注抛物型 $(1,\,p)$-Laplace 方程的梯度连续性。在超临界情形 $\frac{2n}{n+2}<p<\infty$（其中 $n\ge 2$ 表示空间维数）下，该梯度正则性结果最近已由作者证明。在本文中，我们要证明即使在次临界情形 $1<p\le \frac{2n}{n+2}$ 且 $n\ge 3$ 下，只要弱解具有 $L^{s}$-可积性（其中 $s>n(2-p)/p$），同样的正则性依然成立。一旦验证了解的局部梯度界，梯度连续性的证明便与超临界情形类似。因此，本文主要旨在通过 Moser 迭代法证明解及其梯度的局部有界性。证明是通过考虑一个抛物型近似问题，并展示松弛方程的有界弱解的先验梯度估计来完成的。