球谐展开式的近最优重构

我们提出一种算法，利用近最优数量的函数求值，对定义在 d 维单位球面 $\mathbb{S}^{d-1}$ 上的函数进行球谐展开的鲁棒恢复。我们证明，对于任意 $f \in L^2(\mathbb{S}^{d-1})$，恢复其 q 次球谐展开所需的 $f$ 求值次数，至多相差一个对数因子即等于次数不超过 $q$ 的球谐空间维数。此外，我们开发了一种简单而高效的算法，仅通过在 $\mathbb{S}^{d-1}$ 上均匀采样点处对函数求值来恢复 $f$ 的 q 次展开。我们的算法基于球谐函数与 Gegenbauer 多项式以及 leverage score 采样方法之间的联系。与先前关于快速球谐变换的结果不同，我们提出的算法在任何维度 d 下均使用近最优数量的样本高效工作。我们进一步通过数值算例展示了算法的经验性能。