半线性波方程不连续解的数值逼近

构造了一种高频恢复的全离散低正则性积分器，用于逼近半线性波方程的粗糙解及可能的不连续解。所提方法结合高频恢复技术，能够正确捕捉解的不连续性且无虚假振荡，并以比现有方法更高的收敛速率逼近粗糙解和不连续解。本文对所提方法在逼近满足 $(u,\partial_{t}u)\in C([0,T];H^{\gamma}\times H^{\gamma-1})$（其中 $\gamma\in(0,1]$）的解时的收敛速率进行了严格分析。对于一维中具有有界变差的不连续解（允许跳跃间断），证明了在步长条件 $\tau \sim N^{-1}$ 下，所提方法具有近一阶收敛性，其中 $\tau$ 和 $N$ 分别表示时间步长和空间离散化中的 Fourier 项数。通过一维和二维数值算例说明了所提方法在提高半线性波方程粗糙解和不连续解逼近精度方面的优势。数值结果与理论结果一致，表明了所提方法的有效性。