大阶数球谐函数旋转系数的递归计算

球谐函数旋转系数或 Wigner d-矩阵元素的计算在许多量子力学和数学物理应用中至关重要。特别是，如果在三维快速多极子方法 (Fast Multipole Methods) 中使用基于旋转的平移算子分解来处理 Helmholtz、Laplace 及相关方程，这一点尤为重要。在这些以及通过球谐展开表示球面上函数的相关问题中，可能需要计算大阶数 $n$（数千量级或更高）的旋转系数。现有的基于递归的计算算法通常不稳定，且无法扩展到大 $n$。我们开发了一种新的递归方法，并通过计算和渐近分析研究了其在大阶数下的行为。基于 Courant-Friedrichs-Lewy 条件和 von Neumann 方法在偏微分方程 (PDEs) 有限差分格式稳定性分析中的新颖应用，研究了该递归的稳定性。我们提出并数值研究及交叉验证了针对阶数 $n$ 具有最小复杂度 $O\left(n^{2}\right)$ 的递归算法，以及适用于计算大阶数旋转系数、复杂度为 $O\left(n^{2}\log n\right)$ 的基于 FFT 的算法。结果表明，后者算法可在双精度下用于 $n\lesssim 10^{3}$，而前者算法已在大 $n$（实验中高达 $10^{4}$）下进行了测试，并显示出比基于 FFT 的算法更好的性能和精度。