具有斜对称微分矩阵的正交系统的快速计算

在 $\mathrm{L}_2(\mathbb{R})$ 中的正交系统一旦在谱方法中实现，若其微分矩阵为斜对称且高度结构化，则具有若干重要优势。这类微分矩阵为斜对称、三对角且不可约的正交系统近来已被完全刻画。在本文中我们更进一步，施加快速计算的额外要求：具体而言，展开的前 $N$ 个系数可在 $\mathcal{O}(N\log_2N)$ 次运算内高精度算出。我们考虑两种情形，一种直接在 $(-\infty,\infty)$ 中逼近函数 $f$，另一种在 $[0,\infty)$ 中分别逼近 $[f(x)+f(-x)]/2$ 与 $[f(x)-f(-x)]/2$。在每种情形下，我们证明存在唯一一族由 $\alpha,\beta > -1$ 参数化的正交系统，其具有斜对称、三对角、不可约的微分矩阵，且其特征系数可作为某修正函数的 Jacobi 多项式系数算出。当 $\alpha, \beta= \pm 1/2$ 时的四种特例尤为有趣，因为系数可利用快速正弦与余弦变换计算。带状、Toeplitz 加 Hankel 乘法算子亦可用于在谱方法中表示变系数。在傅里叶空间中，这些正交系统与一种显然新颖的 Carlitz 多项式推广相关。