基于矩阵位移结构的正交多项式快速测度修改

众所周知，具有低赫希enberg 结构位秩的矩阵享有针对某些矩阵分解的快速算法。我们展示了 $n \times n$ 主有限节 Grasmann 矩阵在正交多项式测度修改问题中具有此类位移结构， unlocking 一系列用于计算已知正交多项式族与修改后族之间连接系数的快速算法（例如作为上三角 Cholesky 因子）。一般情况下，将复杂度从 ${\cal O}(n^3)$ 减少到 ${\cal O}(n^2)$；若对称 Grasmann 矩阵具有上下带宽 b，则带状 Cholesky 分解的 ${\cal O}(b^2n)$ 复杂度降低至 ${\cal O}(b n)$。在修正 Chebyshev 多项式的情况下，我们指出 Grasmann 矩阵是对称 Toeplitz-Plus-Hankel 矩阵，且若修正 Chebyshev 矩按代数衰减，则在 Grasmann 矩阵中观察到分层 off-diagonal 低秩结构，从而 enable 对基于随机数值线性代数的近似 Cholesky 分解进一步降低复杂度。