同事矩阵对角化的可证明分量级后向稳定$O(n^2)$ QR算法

以切比雪夫基表示的首一多项式的根已知为所谓同事矩阵的特征值,该矩阵为对称三对角矩阵与秩1矩阵之和的Hessenberg矩阵。因此求根问题被重新表述为特征值问题,使得此类矩阵特征值计算成为具有重要实际意义的课题。本文中,我们描述了一种用于同事矩阵的$O(n^2)$显式结构QR算法,并证明其在分量级后向稳定,即同事矩阵中的后向误差可表示为对其各分量的相对扰动。Noferini、Robol与Vandebril近期的结果表明,分量级后向稳定性意味着多项式切比雪夫展开系数向量$c$中的后向误差$\delta c$满足界$\lVert \delta c \rVert \lesssim \lVert c \rVert u$,其中$u$为机器精度。因此,我们描述的算法在系数上具有最优后向误差,且代价最优为$O(n^2)$。我们用若干数值算例说明了该算法的性能。