Hessenberg 移位 QR 的全局收敛性 I：精确算术

对称矩阵上移位 QR 算法的快速收敛在五十多年前即被证明。自那时起，尽管兴趣浓厚且具实际意义，对非对称矩阵上移位 QR 算法的动力学与收敛性质的理解仍难以捉摸。我们为 Hessenberg 移位 QR 算法引入一类新的移位策略。我们证明，当输入为具有有界特征向量条件数 $\kappa_V(H)$（定义为在所有对角化 $VDV^{-1}$ 中 $V$ 的最小条件数）的可对角化 Hessenberg 矩阵 $H$ 时，在精确算术下，采用我们族中某策略的移位 QR 算法保证快速收敛到具有零次对角项的 Hessenberg 矩阵。我们的收敛结果是非渐近的，表明 $H$ 的某些次对角项的几何平均在每次 $QR$ 迭代中以固定常数衰减。实现我们策略每次迭代的算术代价大致随特征向量条件数 $\kappa_V(H)$（衡量 $H$ 非正规性的量）对数缩放。我们策略设计与分析的关键思想为：（1）我们能精确刻画基于 Ritz 值的某移位策略何时停滞。我们利用此信息设计某些“例外移位”，其保证在停滞发生时逃脱停滞。（2）我们使用高次移位（次数约 $\log \kappa_V(H)$）来抑制由非正规性引起的瞬态效应，使我们能以类似正规矩阵的方式处理非正规矩阵。