压缩酉加低秩矩阵到Hessenberg形式的快速约化

我们提出快速数值方法，用于计算酉加低秩矩阵$A=G+U V^H$的Hessenberg约化，其中$G\in \mathbb C^{n\times n}$是以某种压缩格式利用$O(nk)$个参数表示的酉矩阵，$U$和$V$为$n\times k$矩阵且$k< n$。这些方法的核心是将$A$分解为三个可能为扰动酉的$k$阶Hessenberg矩阵（大小为$n$）之积的一种特定结构分解，称为LFR分解。我们证明在大多数有趣的情形下，$A$的初始LFR分解可以非常廉价地算出。接着我们通过给出使$A$的LFR分解蕴含其Hessenberg形状的条件，证明了LFR分解的结构性质。最后，我们描述了一种 bulge chasing 格式，通过酉变换将$A$的初始LFR分解转化为Hessenberg矩阵的LFR分解。该约化可在$O(n^2 k)$次算术运算的总体计算代价下使用$O(nk)$存储完成。$A$的Hessenberg约化所算得的LFR分解可由[8]中给出的快速QR算法处理，从而以相同代价计算$A$的特征值。